\documentclass[handout]{slide}

\renewcommand{\mytitle}{第十一章\quad 曲线积分与曲面积分}
\renewcommand{\mysubtitle}{第三节\quad 格林公式及其应用}
\graphicspath{{./images}}

\begin{document}

\section{格林公式}
\begin{frame}{格林公式}
\onslide<1->
在一元函数积分学中， 牛顿-莱布尼茨公式
\[
\int_{a}^{b} F^{\prime}(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)
\]
表示： $F^{\prime}(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的积分可以通过它的原函数 $F(x)$ 在这个区间端点上的值来表达。

\onslide<2->
下面要介绍的格林 (Green) 公式告诉我们， 在平面闭区域 $D$ 上的二重积分可以通过沿闭区域 $D$ 的边界曲线 $L$ 上的曲线积分来表达。

\begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
\centering
\onslide<8->
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-17}
\caption*{图 11-8}
\end{wrapfigure}

\onslide<3->
现在先介绍平面单连通区域的概念。 设 $D$ 为平面区域， 若 $D$ 内任一闭曲线所围的部分都属于 $D$, 则称 $D$ 为平面\emph{单连通区域}， 否则称为\emph{复连通区域}。
\onslide<4->
通俗地说， 平面单连通区域就是不含有“洞” (包括点 “洞”) 的区域， 复连通区域是含有 “洞” (包括点 “洞”) 的区域。 
\onslide<5->
例如， 平面上的圆形区域 $\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 、上半平面 $\{(x, y) \mid y>0\}$ 都是单连通区域， 
\onslide<6->
圆环形区域 $\left\{(x, y) \mid 1<x^{2}+y^{2}<4\right\},\left\{(x, y) \mid 0<x^{2}+y^{2}<2\right\}$ 都是复连通区域。

\onslide<7->
对平面区域 $D$ 的边界曲线 $L$, 我们规定 $L$ 的正向如下： 当观察者沿 $L$ 的这个方向行走时， $D$ 内在他近处的那一部分总在他的左边。 
\onslide<8->
例如， $D$ 是边界曲线 $L$ 及 $l$ 所围成的复连通区域 (图 11-8), 作为 $D$ 的正向边界， $L$ 的正向是逆时针方向， 而 $l$ 的正向是顺时针方向。
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{theorem}
  设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成， 若函数 $P(x, y)$ 及 $Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数， 则有
  \[\tag{3-1}
  \iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\oint_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y
\]
其中 $L$ 是 $D$ 的取正向的边界曲线。
\end{theorem}
公式(3-1) 叫做\emph{格林公式}。

\pause
\begin{proof}
先假设穿过区域 $D$ 内部且平行于坐标轴的直线与 $D$ 的边界曲线 $L$ 的交点恰好为两点， 即区域 $D$ 既是 $X$ 型又是 $Y$ 型的情形。

\begin{figure}
  \begin{subfigure}{.3\textwidth}
      \includegraphics[max width=\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-18(1)}
      \caption*{图 11-9}
  \end{subfigure}
\hskip 3em
\begin{subfigure}{.4\textwidth}
\includegraphics[max width=\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-18}
\caption*{图 11-10}
\end{subfigure}
\end{figure}
\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
图 11-9、图 11-10 所示的区域都属于这种情形。例如，图 11-9 所示的区域 $D$ 显然是 $X$ 型的。 事实上 $D$ 又是 $Y$ 型的。
 若设有向曲线弧 $\overparen{F G A E}$ 为 $L_{1}^{\prime}: x=\psi_{1}(y), \overparen{E B C F}$ 为 $L_{2}^{\prime}$ : $x=\psi_{2}(y)$, 则 $D$ 可表达成
\[
D=\left\{(x, y) \mid \psi_{1}(y) \leqslant x \leqslant \psi_{2}(y), c \leqslant y \leqslant d\right\} ,
\]
即 $D$ 又是 $Y$ 型的。

  设 $D$ 如图 11-9 所示， 于是 $D=\left\{(x, y) \mid \varphi_{1}(x) \leqslant y \leqslant \varphi_{2}(x), a \leqslant x \leqslant b\right\}$. 因为 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 连续，所以由二重积分的计算法有
  \[
  \iint_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{a}^{b}\left\{\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} \frac{\partial P(x, y)}{\partial y} \mathrm{~d} y\right\} \mathrm{d} x=\int_{a}^{b}\left\{P\left[x, \varphi_{2}(x)\right]-P\left[x, \varphi_{1}(x)\right]\right\} \mathrm{d} x .
\]
另一方面， 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有
\[
  \begin{aligned}
    \oint_{L} P \mathrm{~d} x & =\int_{L_{1}} P \mathrm{~d} x+\int_{B C} P \mathrm{~d} x+\int_{L_{2}} P \mathrm{~d} x+\int_{G A} P \mathrm{~d} x \\
  & =\int_{L_{1}} P \mathrm{~d} x+\int_{L_{2}} P \mathrm{~d} x=\int_{a}^{b} P\left[x, \varphi_{1}(x)\right] \mathrm{d} x+\int_{b}^{a} P\left[x, \varphi_{2}(x)\right] \mathrm{d} x \\
  & =\int_{a}^{b}\left\{P\left[x, \varphi_{1}(x)\right]-P\left[x, \varphi_{2}(x)\right]\right\} \mathrm{d} x.
\end{aligned}
\]
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof}[续]

因此，
\[\tag{3-2}
-\iint_{D} \frac{\partial P}{\partial y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\oint_{L} P \mathrm{~d} x
\]
又由于 $D=\left\{(x, y) \mid \psi_{1}(y) \leqslant x \leqslant \psi_{2}(y), c \leqslant y \leqslant d\right\}$, 故有
  \begin{align*}
    \iint_{D} \frac{\partial Q}{\partial x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\int_{c}^{d}\left[\int_{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)} \frac{\partial Q}{\partial x} \mathrm{~d} x\right] \mathrm{d} y=\int_{c}^{d}\left\{Q\left[\psi_{2}(y), y\right]-Q\left[\psi_{1}(y), y\right]\right\} \mathrm{d} y \\
    & =\int_{L_{2}^{\prime}} Q \mathrm{~d} y+\int_{L_{1}^{\prime}} Q \mathrm{~d} y=\oint_{L} Q \mathrm{~d} y .\tag{3-3}
\end{align*}

由于对区域 $D$, 式(3-2) 与(3-3) 同时成立， 合并后即得公式(3-1). 对于如图 11-10
所示的区域 $D$,完全类似地可证 (3-1)成立。

再考虑一般情形。 如果闭区域 $D$ 不满足以上条件， 那么可以在 $D$ 内引进一条或几条辅助曲线把 $D$ 分成有限个部分闭区域， 使得每个部分闭区域都满足上述条件。例如，就图 11-11 所示的闭区域 $D$ 来说， 它的边界曲线 $L$ 为 $\overparen{M N P M}$, 引进一条辅助线 $A B C$,把 $D$ 分成 $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ 三部分。 
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
    \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-19}
\caption*{图 11-11}
\end{wrapfigure}
应用公式(3-1) 于每个部分， 得
\[
  \begin{aligned}
    & \iint_{D_{1}}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\oint_{\overparen{MCBAM}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y, \\
  & \iint_{D_{2}}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\oint_{\overparen{A B P A}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y, \\
& \iint_{D_{3}}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\oint_{\overparen{B C N B}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y .
\end{aligned}
\]
把这三个等式相加， 注意到相加时沿辅助线来回的曲线积分相互抵消， 便得
\[
\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\oint_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y
\]
其中 $L$ 的方向对 $D$ 来说为正方向。一般地， 公式 (3-1) 对于由分段光滑曲线围成的闭区域都成立。证毕。
\end{proof}

注意， 对于复连通区域 $D$, 格林公式 (3-1) 右端应包括沿区域 $D$ 的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域 $D$ 来说都是正向。
\end{frame}

\begin{frame}
下面说明格林公式的一个简单应用。

在公式(3-1) 中取 $P=-y, Q=x$, 即得
\[
2 \iint_{D} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\ointctrclockwise_{L} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x .
\]
上式左端是闭区域 $D$ 的面积 $A$ 的 $2$ 倍， 因此有
\[\tag{3-4}
A=\frac{1}{2} \ointctrclockwise_{L} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x
\]
\pause
  \begin{example}
   求椭圆 $x=a \cos \theta, y=b \sin \theta$ 所围成图形的面积 $A$.
  \end{example}
\pause
 \begin{solution}
  根据公式 (3-4) 有
 \[
  A=\frac{1}{2} \ointctrclockwise_{L} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi}\left(a b \cos ^{2} \theta+a b \sin ^{2} \theta\right) \mathrm{d} \theta=\frac{1}{2} a b \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \theta=\pi a b .
 \]
  \end{solution}

\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  计算 $\displaystyle \iint_{D} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D$ 是以 $O(0,0), A(1,1), B(0,1)$ 为顶点的三角形闭区域(图 11-12).
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
    \centering
  \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-20(1)}
\caption*{图 11-12}
\pause
\end{wrapfigure}

令 $P=0, Q=x \mathrm{e}^{-y^{2}}$, 则
\[
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=\mathrm{e}^{-y^{2}}
\]
因此，由公式(3-1)有
\[
  \begin{aligned}
    \iint_{D} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\int_{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B O}} x \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y\\
    &= \int_{O A} x \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \\
  & =\int_{0}^{1} x \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x\\
  &= \frac{1}{2}\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right) .
\end{aligned}
\]
\end{solution}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{example}
计算 $\displaystyle \ointctrclockwise_{L} x^{2} y \mathrm{~d} x-x y^{2} \mathrm{~d} y$, 其中 $L$ 为正向圆周 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$.
\end{example}
\pause
\begin{solution}
令 $P=x^{2} y, Q=-x y^{2}$, 则
\[
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=-y^{2}-x^{2}
\]
因此，由公式(3-1)有
\[
\ointctrclockwise_{L} x^{2} y \mathrm{~d} x-x y^{2} \mathrm{~d} y=-\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{a} \rho^{3} \mathrm{~d} \rho=-\frac{\pi}{2} a^{4} .
\]
\end{solution}

\pause
  \begin{example}
  计算 $\displaystyle \ointctrclockwise_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$, 其中 $L$ 为一条不自相交%
  \footnote{对于连续曲线 $L: x=\varphi(t), y=\psi(t), \alpha \leqslant t \leqslant \beta$, 如果除了 $t=\alpha, t=\beta$ 外， 当 $t_{1} \neq t_{2}$ 时， $\left(\varphi\left(t_{1}\right), \psi\left(t_{1}\right)\right)$ 与 $\left(\varphi\left(t_{2}\right), \psi\left(t_{2}\right)\right)$ 总是相异的， 那么称 $L$ 是不自相交的曲线。}%
、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线， $L$ 的方向为逆时针方向。
\end{example}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{solution}
  \begin{wrapfigure}{r}{.25\textwidth}
    \centering
  \includegraphics[max width=.25\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-20}
\caption*{图 11-13}
\pause
\end{wrapfigure}
令 $P=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, Q=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$. 则当 $x^{2}+y^{2} \neq 0$ 时， 有
\[
  \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=\frac{\partial P}{\partial y}.
\]
\mbox{记 $L$ 所围成的闭区域为 $D$. 当 $(0,0) \notin D$ 时， 由公式 (3-1) 便得}
\[
  \ointctrclockwise_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}=0.
\]
当 $(0,0) \in D$ 时，选取适当小的 $r>0$, 作位于 $D$ 内的圆周 $l$ : $x^{2}+y^{2}=r^{2}$. 记 $L$ 和 $l$ 所围成的闭区域为 $D_{1}$ (图 11-13). 对复连通区域 $D_{1}$ 应用格林公式， 得
\[
  \ointctrclockwise_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}-\ointctrclockwise_{l} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}=0,
\]
其中 $l$ 的方向取逆时针方向。于是
\[
  \ointctrclockwise_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}=
  \ointctrclockwise_{l} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}=
  \frac{1}{r^2} \oint_l x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x \xlongequal{\text{(3-4)}}
  \frac{1}{r^2} \cdot 2 \pi r^2=2 \pi.
\]
\end{solution}
\end{frame}


\section{平面上曲线积分与路径无关的条件}

\begin{frame}{平面上曲线积分与路径无关的条件}
在物理、力学中要研究所谓势场， 就是要研究场力所做的功与路径无关的情形。 在什么条件下场力所做的功与路径无关? 这个问题在数学上就是要研究曲线积分与路径无关的条件。 为了研究这个问题，先要明确什么叫做曲线积分 $\int_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 与路径无关。

\begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
\centering
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-21}
\caption*{图 11-14}
\end{wrapfigure}

~

设 $G$ 是一个区域， $P(x, y)$ 以及 $Q(x, y)$ 在区域 $G$ 内具有一阶连续偏导数。 如果对于 $G$ 内任意指定的两个点 $A, B$以及 $G$ 内从点 $A$ 到点 $B$ 的任意两条曲线 $L_{1}, L_{2}$ (图 11-14),
 等式
 \[
 \int_{L_{1}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{L_{2}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y
 \]
 恒成立， 就说\emph{曲线积分 $\int_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 在 $G$ 内与路径无关}， 否则便说与\emph{路径有关}。
 \end{frame}

 \begin{frame}
 在以上叙述中注意到，如果曲线积分与路径无关，那么
 \[
 \int_{L_{1}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{L_{2}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y .
 \]
 由于
 \[
 \int_{L_{2}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=-\int_{L_{2}^{-}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y
 \]
 所以
 \[
 \int_{L_{1}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+\int_{L_{2}^{-}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0,
 \]
 从而
 \[
 \oint_{L_{1}+L_{2}^{-}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0
 \]
 这里 $L_{1}+L_{2}^{-}$是一条有向闭曲线。 因此， 在区域 $G$ 内由曲线积分与路径无关可推得在 $G$内沿闭曲线的曲线积分为零。 反过来， 如果在区域 $G$ 内沿任意闭曲线的曲线积分为零，也可推得在 $G$ 内曲线积分与路径无关。 由此得出结论： 曲线积分 $\int_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 在 $G$ 内与路径无关相当于沿 $G$ 内任意闭曲线 $C$ 的曲线积分 $\oint_{C} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 等于零。
 \end{frame}
 \begin{frame}
  \begin{theorem}
    设区域 $G$ 是一个单连通区域， 若函数 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 $\int_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 在 $G$ 内与路径无关 (或沿 $G$ 内任意闭曲线的曲线积分为零) 的充分必要条件是
    \[
      \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
  \]
在 $G$ 内恒成立。
\end{theorem}
\begin{proof}


先证条件 (3-5) 是充分的。 在 $G$ 内任取一条闭曲线 $C$, 要证当条件 (3-5) 成立时有 $\oint_{C} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0$. 因为 $G$ 是单连通的， 所以闭曲线 $C$ 所围成的闭区域 $D$ 全部在 $G$内，于是(3-5) 式在 $D$ 上恒成立。应用格林公式，有
\[
\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\oint_{C} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y
\]
上式左端的二重积分等于零 (因为被积函数 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$ 在 $D$ 上恒为零 $)$, 从而右端的曲线积分也等于零。
\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{proof}[续]
  再证条件 (3-5) 是必要的。 现在要证的是： 如果沿 $G$ 内任意闭曲线的曲线积分为零， 那么 (3-5) 式在 $G$ 内恒成立。 用反证法来证。 
假设上述论断不成立， 那么 $G$ 内至少有一点 $M_{0}$, 使
  \[
  \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)_{M_{0}} \neq 0
\]
不妨假定
\[
\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)_{M_{0}}=\eta>0
\]
由于 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 与 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 在 $G$ 内连续， 可以在 $G$ 内取得一个以 $M_{0}$ 为圆心、半径足够小的圆形闭区域 $K$,使得在 $K$ 上恒有
\[
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \geqslant \frac{\eta}{2} .
\]
于是由格林公式及二重积分的性质就有
\[
\oint_{\gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_{K}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geqslant \frac{\eta}{2} \cdot \sigma
\]
这里 $\gamma$ 是 $K$ 的正向边界曲线， $\sigma$ 是 $K$ 的面积。 
\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}
\begin{proof}[续]
因为 $\eta>0, \sigma>0$, 从而
\[
\oint_{\gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y>0 .
\]
这结果与沿 $G$ 内任意闭曲线的曲线积分为零的假定相矛盾， 可见 $G$ 内使 $(3-5)$ 式不成立的点不可能存在， 即 (3-5) 式在 $G$ 内处处成立。证毕。
\end{proof}

~

在第二节第二目例 3 中我们看到， 起点与终点相同的三个曲线积分 $\int_{L} 2 x y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y$
相等。由定理 2 来看， 这不是偶然的， 因为这里 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=2 x$ 在整个 $x O y$ 面内恒成立， 而整个 $x O y$ 面是单连通区域， 因此曲线积分 $\int_{L} 2 x y \mathrm{~d} x+x^{2} \mathrm{~d} y$ 与路径无关。

~

在定理 2 中， 要求区域 $G$ 是单连通区域， 且函数 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数。 如果这两个条件之一不能满足， 那么定理的结论不能保证成立。 例如，在例 4 中我们已经看到， 当 $L$ 所围成的区域含有原点时， 虽然除去原点外， 恒有 $\frac{\partial Q}{\partial x}=$ $\frac{\partial P}{\partial y}$, 但沿闭曲线的积分 $\oint_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y \neq 0$, 其原因在于区域内含有破坏函数 $P, Q$ 及 $\frac{\partial Q}{\partial x}$, $\frac{\partial P}{\partial y}$ 连续性条件的点 $O$, 这种点通常称为\emph{奇点}。
\end{frame}


\section{二元函数的全微分求积}

\begin{frame}{二元函数的全微分求积}

现在要讨论： 函数 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 满足什么条件时， 表达式 $P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$才是某个二元函数 $u(x, y)$ 的全微分; 当这样的二元函数存在时把它求出来。

\begin{theorem}
设区域 $G$ 是一个单连通区域， 若函数 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数， 则 $P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 在 $G$ 内为某一函数 $u(x, y)$ 的全微分的充分必要条件是
\[\tag{3-5}
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
\]
在 $G$ 内恒成立。
\end{theorem}
\begin{proof}
先证必要性。 假设存在着某一函数 $u(x, y)$, 使得
\[
\mathrm{d} u=P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y,
\]
则必有
\[
  \frac{\partial u}{\partial x}=P(x, y), \quad \frac{\partial u}{\partial y}=Q(x, y).
\]
\end{proof}
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
从而
\[
\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial P}{\partial y}, \quad \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}=\frac{\partial Q}{\partial x}
\]
由于 $P$ 与 $Q$ 具有一阶连续偏导数， 所以 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ 与 $\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}$ 连续， 因此 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}$, 即 $\frac{\partial P}{\partial y}=$ $\frac{\partial Q}{\partial x}$. 这就证明了条件 (3-5) 是必要的。


  再证充分性。 设已知条件 (3-5) 在 $G$ 内恒成立， 则由定理 2 可知， 起点为 $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 终点为 $M(x, y)$ 的曲线积分在区域 $G$ 内与路径无关， 于是可把这条曲线积
分写作
\[
\int_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}^{(x, y)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y .
\]
当起点 $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 固定时， 这个积分的值取决于终点 $M(x, y)$, 因此， 它与 $x$ 及 $y$ 构成函数关系， 把这个函数记作 $u(x, y)$, 即%
\footnote{为区别函数的自变量与积分变量， 可记
\[
u(x, y)=\int_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}^{(x, y)} P(s, t) \mathrm{d} s+Q(s, t) \mathrm{d} t .
\]
}%
\[\tag{3-6}
  u(x, y)=\int_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}^{(x, y)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y.
\]
\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
    \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
      \centering
    \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-24}
  \caption*{图 11-15}
\end{wrapfigure}

下面来证明这个函数 $u(x, y)$ 的全微分就是 $P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$. 因为 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 都是连续的，因此只要证明
\[
\frac{\partial u}{\partial x}=P(x, y), \quad \frac{\partial u}{\partial y}=Q(x, y) .
\]
按偏导数的定义，有
\[
\frac{\partial u}{\partial x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x, y)-u(x, y)}{\Delta x}
\]
由(3-6)式， 得
\[
u(x+\Delta x, y)=\int_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}^{(x+\Delta x, y)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y .
\]


由于这里的曲线积分与路径无关， 可以取先从点 $M_{0}$ 到点 $M$, 然后沿平行于 $x$ 轴的直线段从点 $M$ 到点 $N$ 作为上式右端曲线积分的路径 (图 11-15). 这样就有
\[
  \begin{aligned}
    u(x+\Delta x, y) 
  = u(x, y)+\int_{(x, y)}^{(x+\Delta x, y)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y .
\end{aligned}
\]
\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
  从而
  \[
    u(x+\Delta x, y)-u(x, y)=\int_{(x, y)}^{(x+\Delta x, y)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y.
  \]
因为直线段 $M N$ 的方程为 $y=$ 常数， 按对坐标的曲线积分的计算法， 上式成为
\[
u(x+\Delta x, y)-u(x, y)=\int_{x}^{x+\Delta x} P(x, y) \mathrm{d} x
\]
应用定积分中值定理， 得
\[
u(x+\Delta x, y)-u(x, y)=P(x+\theta \Delta x, y) \Delta x \quad(0 \leqslant \theta \leqslant 1) .
\]
上式两端除以 $\Delta x$, 并令 $\Delta x \rightarrow 0$ 取极限。 由于 $P(x, y)$ 的偏导数在 $G$ 内连续， $P(x, y)$ 本身也一定连续，于是得
 \[
   \frac{\partial u}{\partial x}=P(x, y).
 \]
  同理可证
 \[
   \frac{\partial u}{\partial y}=Q(x, y).
 \]
  这就证明了条件 (3-5) 是充分的。证毕。
 \end{proof}
 \end{frame}

 \begin{frame}
 由定理 2 及定理 3 ,立即可得如下推论：

 \begin{corollary*}
 设区域 $G$ 是一个单连通区域， 若函数 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数， 则曲线积分 $\int_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 在 $G$ 内与路径无关的充分必要条件是： 在 $G$ 内存在函数 $u(x, y)$, 使 $\mathrm{d} u=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$.
 \end{corollary*}

 \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
 \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-25}
 \caption*{图 11-16}
 \end{wrapfigure}
 根据上述定理， 如果函数 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 在单连通区域 $G$ 内具有一阶连续偏导数， 且满足条件 (3-5), 那么 $P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 是某个函数的全微分， 这函数可用公式 (3-6) 来求出。 因为公式 (3-6) 中的曲线积分与路径无关， 为计算简便起见， 可以选择平行于坐标轴的直线段连成的折线 $M_{0} R M$ 或 $M_{0} S M$ 作为积分路线 (图11-16), 当然要假定这些折线完全位于 $G$ 内。


 在公式 (3-6) 中取 $M_{0} R M$ 为积分路线，得
 \[
 u(x, y)=\int_{x_{0}}^{x} P\left(x, y_{0}\right) \mathrm{d} x+\int_{y_{0}}^{y} Q(x, y) \mathrm{d} y .
 \]

 在公式 (3-6) 中取 $M_{0} S M$ 为积分路线， 则函数 $u$ 也可表为
 \[
 u(x, y)=\int_{y_{0}}^{y} Q\left(x_{0}, y\right) \mathrm{d} y+\int_{x_{0}}^{x} P(x, y) \mathrm{d} x .
 \]
 \end{frame}


 \begin{frame}
  \begin{example}
    验证： $\frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ 在右半平面 $(x>0)$ 内是某个函数的全微分， 并求出一个这样的函数。
\end{example}

\begin{solution}
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
    \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-26}
      \caption*{图 11-17}
  \end{wrapfigure}
在例 4 中已经知道， 令
\[
P=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \quad Q=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}
\]
就有
\[
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=\frac{\partial Q}{\partial x}
\]
在右半平面内恒成立， 因此在右半平面内， $\frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ 是某个函数的全微分。

取积分路线如图 11-17 所示， 利用公式 (3-6) 得所求函数为
\[
  \begin{aligned}
    u(x, y) & =\int_{(1,0)}^{(x, y)} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}=\int_{A B} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}+\int_{B C} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}} \\
    & =0+\int_{0}^{y} \frac{x \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}=\left[\arctan \frac{y}{x}\right]_{0}^{y}=\arctan \frac{y}{x}.
\end{aligned}
\]
\end{solution}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  验证： 在整个 $x O y$ 面内， $x y^{2} \mathrm{~d} x+x^{2} y \mathrm{~d} y$ 是某个函数的全微分， 并求出一个这样的函数。
\end{example}

\begin{solution}
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
  \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-26(1)}
\caption*{图 11-18}
\end{wrapfigure}
现在 $P=x y^{2}, Q=x^{2} y$, 且
\[
\frac{\partial P}{\partial y}=2 x y=\frac{\partial Q}{\partial x}
\]
在整个 $x O y$ 面内恒成立， 因此在整个 $x O y$ 面内， $x y^{2} \mathrm{~d} x+x^{2} y \mathrm{~d} y$ 是某个函数的全微分。

取积分路线如图 11-18 所示， 利用公式 (3-6) 得所求函数为
\[
  \begin{aligned}
    u(x, y) & =\int_{(0,0)}^{(x, y)} x y^{2} \mathrm{~d} x+x^{2} y \mathrm{~d} y\\
    &= \int_{O A} x y^{2} \mathrm{~d} x+x^{2} y \mathrm{~d} y+\int_{A B} x y^{2} \mathrm{~d} x+x^{2} y \mathrm{~d} y \\
  & =0+\int_{0}^{y} x^{2} y \mathrm{~d} y=x^{2} \int_{0}^{y} y \mathrm{~d} y=\frac{x^{2} y^{2}}{2} .
\end{aligned}
\]
\end{solution}
\end{frame}

\section{全微分方程}

\begin{frame}{全微分方程}
利用二元函数的全微分求积， 还可以用来求解下面一类一阶微分方程。
一个微分方程写成
\[\tag{3-7}
P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=0
\]
的形式后，如果它的左端恰好是某一个函数 $u(x, y)$ 的全微分：
\[
\mathrm{d} u(x, y)=P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y,
\]
那么方程 (3-7) 就叫做\emph{全微分方程}。

容易知道， 如果方程 (3-7) 的左端是函数 $u(x, y)$ 的全微分， 那么
\[
u(x, y)=C
\]
就是全微分方程 (3-7) 的隐式通解， 其中 $C$ 是任意常数。

由定理 3 及公式 (3-6) 可知， 当 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 在单连通区域 $G$ 内具有一阶连续偏导数时， 方程 (3-7) 成为全微分方程的充分必要条件是
\[
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
\]
在区域 $G$ 内恒成立，且当此条件满足时，全微分方程 (3-7) 的通解为
\[\tag{3-8}
u(x, y) \equiv \int_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}^{(x, y)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=C
\]
其中 $x_{0}$ 与 $y_{0}$ 是在区域 $G$ 内适当选定的点 $M_{0}$ 的坐标。
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  求解方程
  \[
  \left(5 x^{4}+3 x y^{2}-y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(3 x^{2} y-3 x y^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y=0 .
\]
\end{example}
\pause
\begin{solution}
设 $P(x, y)=5 x^{4}+3 x y^{2}-y^{3}, Q(x, y)=3 x^{2} y-3 x y^{2}+y^{2}$, 则
\[
\frac{\partial P}{\partial y}=6 x y-3 y^{2}=\frac{\partial Q}{\partial x}
\]
因此，所给方程是全微分方程。

取 $x_{0}=0, y_{0}=0$, 根据公式 (3-8), 有
\[
  \begin{aligned}
    u(x, y) & =\int_{(0,0)}^{(x, y)}\left(5 x^{4}+3 x y^{2}-y^{3}\right) \mathrm{d} x+\left(3 x^{2} y-3 x y^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y \\
  & =\int_{0}^{x} 5 x^{4} \mathrm{~d} x+\int_{0}^{y}\left(3 x^{2} y-3 x y^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y=x^{5}+\frac{3}{2} x^{2} y^{2}-x y^{3}+\frac{1}{3} y^{3} .
\end{aligned}
\]
于是， 方程的通解为
\[
x^{5}+\frac{3}{2} x^{2} y^{2}-x y^{3}+\frac{1}{3} y^{3}=C.
\]
\end{solution}
\end{frame}


\begin{frame}
%除了利用公式 (3-8) 以外， 还可以用下面的方法求解全微分方程。以上面的方程为例。
  \begin{solution*}[解法二]
 因为要求的方程通解为 $u(x, y)=C$, 其中 $u(x, y)$ 满足
$\displaystyle
\frac{\partial u}{\partial x}=5 x^{4}+3 x y^{2}-y^{3}.
$
故
\[
u(x, y)=\int\left(5 x^{4}+3 x y^{2}-y^{3}\right) \mathrm{d} x=x^{5}+\frac{3}{2} x^{2} y^{2}-x y^{3}+\varphi(y),
\]
这里 $\varphi(y)$ 是以 $y$ 为自变量的待定函数。 由此， 得
\[
\frac{\partial u}{\partial y}=3 x^{2} y-3 x y^{2}+\varphi^{\prime}(y)
\]
又 $u(x, y)$ 必须满足
\[
  \frac{\partial u}{\partial y}=3 x^{2} y-3 x y^{2}+y^{2}.
\]
故
\[
3 x^{2} y-3 x y^{2}+\varphi^{\prime}(y)=3 x^{2} y-3 x y^{2}+y^{2} .
\]
从而
\[
  \varphi^{\prime}(y)=y^{2}, \quad \varphi(y)=\frac{1}{3} y^{3}+C.
\]
所以，所给方程的通解为
\[
  x^{5}+\frac{3}{2} x^{2} y^{2}-x y^{3}+\frac{1}{3} y^{3}=C.
\]
\end{solution*}
\end{frame}


\section{曲线积分的基本定理}

\begin{frame}{曲线积分的基本定理}

  若曲线积分 $\int_{L} \symbf{F} \cdot \mathrm{d} \symbf{r}$ 在区域 $G$ 内与积分路径无关， 则称向量场 $F$ 为保守场。

下面的定理给出了平面曲线积分与路径无关的另一种形式的条件， 并为计算保守场中的曲线积分提供了一种简便的方法。

\begin{theorem}[曲线积分的基本定理]
  设 $\symbf{F}(x, y)=P(x, y) \symbf{i}+Q(x, y) \symbf{j}$ 是平面区域 $G$ 内的一个向量场， 若 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 都在 $G$ 内连续， 且存在一个数量函数 $f(x, y)$, 使得 $\symbf{F}=\nabla f$, 则曲线积分 $\int_{L} \symbf{F} \cdot \mathrm{d} \symbf{r}$ 在 $G$ 内与路径无关， 且
  \[\tag{3-9}
\int_{L} \symbf{F} \cdot \mathrm{d} \symbf{r}=f(B)-f(A),
\]
其中 $L$ 是位于 $G$ 内起点为 $A$ 、终点为 $B$ 的任一分段光滑曲线。
\end{theorem}

公式(3-9) 是与微积分基本公式
\[
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)
\]
(其中 $\left.F^{\prime}(x)=f(x)\right)$ 完全类似的向量微积分的相应公式， 称为\emph{曲线积分的基本公式}。

\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{proof}
  设 $L$ 的向量方程为
  \[
  \symbf{r}=\varphi(t) \symbf{i}+\psi(t) \symbf{j}, \quad \symbf{t} \in[\alpha, \beta],
\]
起点 $A$ 对应参数 $t=\alpha$, 终点 $B$ 对应参数 $t=\beta$.

由假设， $f_{x}=P, f_{y}=Q, P, Q$ 连续， 从而 $f$ 可微， 且
\[
\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} t}=f_{x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}+f_{y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=\nabla f \cdot\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \symbf{i}+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} \symbf{j}\right)=\symbf{F} \cdot \frac{\mathrm{d} \symbf{r}}{\mathrm{d} t}
\]
于是
\[
  \int_{L} \symbf{F} \cdot \mathrm{d} \symbf{r}=\int_{\alpha}^{\beta} \symbf{F} \cdot \frac{\mathrm{d} \symbf{r}}{\mathrm{d} t} \mathrm{~d} t=\int_{\alpha}^{\beta} \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} t} \mathrm{~d} t=\left.f[\varphi(t), \psi(t)]\right|_{\alpha} ^{\beta}=f(B)-f(A),
\]
证毕。
\end{proof}

定理 4 表明， 对于势场 $F$, 曲线积分 $\int_{L} \symbf{F} \cdot \mathrm{d} \symbf{r}$ 的值仅依赖于它的势函数 $f$ 在路径 $L$ 的两端点的值， 而不依赖于两点间的路径， 即积分 $\int_{L} \symbf{F} \cdot \mathrm{d} \symbf{r}$ 在 $G$ 内与路径无关。 也就是说： 势场是保守场。

\end{frame}
\end{document}
